根轨迹的构造和例子

根轨迹是确定a稳定性的一种方法吗控制系统。在前一篇文章中，我们已经讨论了根轨迹技术，它告诉我们在构建根轨迹时遵循的规则。

在本文中，我们将看到有关扎根轨迹的构造的一些例子。但在进行这些解决的示例之前，您必须具备关于构造根轨迹的规则的基本概念。所以，首先，通过这篇文章根轨迹法。

在进行示例之前，让我们看看需要遵循哪些步骤，以从系统的传递函数绘制根轨迹。

绘制根轨迹的一般步骤

首先，从系统的给定传递函数，必须写入特征方程，通过该特性方程必须通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特征方程来通过该特征方程来通过该特征方程来通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特征方程来通过该特征方程来通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特征方程来通过该特征方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特性方程来通过该特征方程写入，所以必须确定开环极和零的数量。根据规则获取杆和零的数量，确定分支的总数。

2.现在，必须绘制零点图。一旦形成s平面图，则确定根轨迹所在的实轴截面。同时，通过一般预测，可以同时预测最小分离点的数目。

3.接下来，使用公式完成各种分支的渐近角的计算。

4.渐近线在s平面实轴上的交点称为质心，还可以用所要求的公式进一步计算。现在先画出质心的草图，对轨迹的构造有一个大致的认识。

此外，使用该方法确定分离点以确定其确定。在这种情况下，它似乎是复杂的缀合物，然后必须使用角度条件检查其有效性。

6.确定与假想轴相交的点与根轨迹相交。

7.如果适用于上述规则的条件，则计算抵达角度和出发角度。

8.根据上述步骤和得到的值，构造根轨迹的最终草图。现在，通过观察根轨迹，预测系统的稳定性和性能。

根基因座的构造示例

在此部分中，我们将看到一些示例，可以帮助您了解如何为系统绘制根轨迹以检查其稳定性。

例1：假设我们已经给出了封闭系统的传递函数：

我们必须构造该系统的根轨迹，并预测其稳定性。

首先，写出上述系统的特征方程，

从上面的方程，我们得到，s = 0， -5和-10。

因此，p = 3，z = 0并且自p> z因此，分支的数量将等于极的数量。

所以，n = p = 3

因此，在这种情况下，分支将从s平面的0、-5和-10位置开始，并趋于无穷。

最初，根据一般预测，我们可以说实轴上的点-5的极点总数是奇数，其右侧为0。因此，在0和-5之间会有一个分离点。

现在，我们用下面的公式来计算渐近线的角度:

:q在0到P-Z-1之间

因此，在这种情况下，θ将被​​计算为q = 0,1和2。

这三个角是渐近线趋于无穷时的角度。

现在，让我们通过使用下面给出的公式来检查质心在真实轴上的位置：

下图表示通过上述分析获得的图的粗略草图

早些时候我们预测，点0和-5之间的一节将存在一个分离点。因此，现在使用该方法来确定分支点，我们将检查分离点的有效性。

在这种方法中，将K对s求导并使其等于0得到的根为断点。

因此，

或

因此，在求解时，获得的根部是-2.113和-7.88。

由于根-7.88落在超出预测部分，因此s = -2.113是有效的断裂点。

将s= -2.113代入式中，可以得到K的值:

因此,在解决,

在这里，得到的K是一个正值，因此，s = -2.113是有效的。

现在，我们要检查根轨迹和虚轴的交点。因此，使用这个routh数组。

这里使用特征方程的适当方法，并形成k的routh阵列。

因此，劳斯数组:

现在，找到k_三月，即routh数组中除s行外的任意一行中的K的值为0⁰。

考虑,行¹，750 - k = 0

从而，K_米= 750.

此外，借助于在零行上方存在的行的系数，构造辅助等式A（S）= 0。在这种情况下，

因此，将Km的值代入上式，得到:

因此，

因此，这些是具有虚构轴的根基因座的交叉点。

而且，由于极点不复杂，因此不需要出发的角度。因此，在分离点处，根基因座在±90°处断裂。

因此，完整的根轨迹为:

从上面的草图，系统的稳定性可以分析为k在0到750之间系统是完全稳定由于完整的根轨迹位于S平面的左半部分。at.K = 750.，系统是略微稳定。

同时,为k在750到∞之间，系统是不稳定当主根朝向s平面的右半部分时。

例2:考虑到对于具有下面传递函数的系统，我们必须勾画出根轨迹并预测其稳定性。

特征方程给出了极点和零点。因此，写下上述系统的特征方程:

因此，s = 0，

在解决方面

s = -1 + j和-1 - j

因此,在这里

P = 3, Z = 0, as P > Z，则N = P = 3

杆零图如下：

在这里，很明显，起源于s = 0的分支趋于-∞。一般的预测表明，这里没有分裂点。

角渐近线

以来

:q在0到P-Z-1之间

因此，这里，θ将被计算为q = 0,1和2。

现在，质心：

因此，在上述分析的帮助下，S平面的草图如下：

对于角度θ2，从s = 0的一个分支接近无限远，分别从-1 + j和-1-j开始，分支接近无穷大。

现在，让我们检查一下脱离点。

因此,在区分,

或

分离点计算为：

因此，

s = - 0.67±J 0.47

现在，在这里，我们具有复杂的共轭，因此，通过使用角度条件检查这些点的有效性作为分离点。

测试，s = - 0.67 + j 0.47

在s = - 0.67 + j 0.47

在解决,

因为它不是180度的奇倍数，所以这个点不存在于根轨迹上，所以这里没有断点。

进一步，检查与虚轴的交点。

Routh的阵列

k的值_米= +4等于s¹= 0.

从而，

替代K._米= 4，我们得到，

现在，计算出发角度

在复杂的钢管,- 1 + j

这里φ_P1= 135°和φ_P2.= 90°

因此，在复极处，- 1 - j,

因此，通过上述值和参数，所获得的完整根轨迹草图如下：

现在谈论稳定，为K在0到4之间，根出现在s平面的左半部分，代表a完全稳定的系统。

k = +4制作系统略微稳定由于存在在假想轴上的主要根部。而对于k> 4，系统变成了不稳定作为主导根部位于右半的S平面。

因此，通过绘制根轨迹，可以确定系统的稳定性。