国家空间分析

状态空间分析（也称为状态变量分析）是常用的方法，用于分析控制系统。利用系统历史提供关于系统在任何给定时间的行为的完整思想的分析称为状态空间分析。

这种方法的控制系统分析是基于系统的状态。因此，它被称为如此。

我们知道用于分析控制系统的基本方法是一个转换功能方法。这意味着传统上，使用转移函数方法来分析系统。

系统的传递函数用输出的频域表示与输入的频域表示之比来表示。

需要状态空间分析

尽管有传递函数方法，为什么我们需要国家空间分析？

传统的方法易于应用于系统分析，但同时也存在一些主要的缺陷。

与传统方法相关的缺点如下:

1. 在分析传递函数方法中，初始条件被认为是0。然而，状态变量分析就不是这样了，因为它考虑了与控制系统的要素相关的所有初始条件。
   对初始条件的考虑提供了更精确的响应。因此，在状态模型中考虑与系统相关的所有初始条件是一个主要的有利因素。
2. 传递函数方法对多输入多输出系统的分析显得很不方便。而状态变量方法既支持分析SISO系统，也支持分析MIMO系统。
3. 由于在分析线性和非线性以及时变或时间不变系统的有效性，所以状态空间方法优于适用于线性时间不变系统的传递函数方法。
4. 由于传递函数法是一种频域分析方法，因此在高阶系统中很难找到时域解。而状态空间分析是一种时域方法。
5. 传递函数方法使用一些标准测试输入信号来分析系统，而这不是状态空间分析的情况。
6. 由于状态变量方法与矩阵/向量建模相关联，因此被认为是一种有效的计算方法。因此，它易于准确响应，因此适用于动态系统。

因此，我们可以说状态空间分析克服了传递函数方法的局限性。

“国家空间”是什么意思？

用根轨迹或伯德图等传统方法对系统进行分析时，利用传递函数方法，在输出和输入的基础上对系统进行分析。

在这种方法中，没有考虑系统的内部条件，并仅限于单个输入单个输出。

但在现代方法的情况下，考虑有关系统内部条件的简要信息。这些内部条件指定了系统的状态。因此被称为状态空间。

状态是什么?

它代表了系统的每一个最小的过去信息，以便预测响应。基本上，一个状态将未来，即系统的响应与过去分开。

因此，我们可以更简单地说，为了使系统对任何给定的输入有准确的响应，状态保存了与系统历史相关的信息。

因此，在任何时间的时刻，状态都意味着系统的每个元素的组合效果。因此，状态是自然界中的向量，其提供来自与系统的初始条件相关联的每个组件的值。

由于矢量性质，它通常被称为状态矢量。

正如我们已经讨论过的，它是一个向量项，因此构成状态向量的各种变量被称为状态变量。

这里x(t)表示状态向量，而x₁（t），x₂(t)等为构成状态向量的状态变量。

国家模型

考虑一个有两个输入u的线性系统₁(t)和u₂(t)，两个输出y₁(t)和y₂(t)。

假设系统具有两个状态x₁(t)和x₂(t)。

• 状态方程

我们知道状态变量显示随时间的变化。从而写出状态变量的微分方程，我们将拥有

因此，矩阵表示为:

因此，广义形式：

• 输出方程

系统的输出将表示为系统状态和施加的输入的线性组合。因此：

这里的系数c和d是常数。将上述方程写成矩阵形式，则有:

因此，一般形式可以写成:

因此，这两个方程共同构成了线性系统的状态模型:

建模程序

在状态模型中，我们考虑了线性系统的两种状态，两种输入和两种输出。但一般我们可以将线性定常系统的完整系统模型定义为:

• 以矩阵A和B形式定义的一组状态方程
• 一组用状态变量和矩阵C和D形式的输入定义的输出。

这里应该注意的是，A和B是与状态方程相关的系数，因此是系统的属性。因此，系统的元素和结构负责确定A和B.

虽然C和D是输出变量的矩阵，因此其确定显示了对输出变量的依赖性。

因此，建模过程中涉及的步骤如下:

• 首先确定系统的阶次，然后选择状态变量集合。
• 现在，使用适当的方法，用矩阵A和B定义系统的状态方程。
• 最后，找到该集输出方程，从而导出C和D矩阵。

状态空间分析的缺点

正如我们在一开始所讨论的那样，为了克服传统分析方法的缺点，引入了状态空间分析。但状态空间分析的主要缺点是技术复杂，计算量大。